Знак пара сил при изгибе

Изгиб балки в сопротивлении материалов, разбор правила знаков для поперечных сил и изгибающих моментов

Знак пара сил при изгибе

Изгиб.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок, равный значению этой силы, а на эпюре М —точка перелома (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение Mmax или Mmin (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

где S отс — статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

Далее по полученному значению [Mx] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [Mвнеш]. Условие прочности имеет вид:

Перемещения при изгибе.

Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие — на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:

Прогиб балки Y — перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

Угол поворота сечения — угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов Мf от приложенной нагрузки и М1 — от единичной нагрузки.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

где Af – площадь эпюры изгибающего момента Мf от заданной нагрузки; yc – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры Мf ; EIx – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (Af*yc) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра Мf должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Знак пара сил при изгибе

Уважаемы обучающиеся и выпускники(срок окончания обучения 31.08.2021)!

По вопросам заказа справок об обучении и доходах в период с 09.08.2021 по 09.2021 обращаться в каб. 141, по телефону 29-84-17

Обучающиеся, отчисленные до 31.08.2021 заказывают справки об обучении в отделе кадров или архивном отделе.

Студентам и аспирантам — скидка 50% на путешествия!

Прими участие во Всероссийской переписи населения!

Прими участие во Всероссийской переписи населения

Отдел государственной статистики в г. Магнитогорске проводит набор переписных кадров.

Приглашаем принять участие во Всероссийской переписи населения, которая будет проводиться с 15 октября по 14 ноября 2021 года. Переписчиком счетных участков может стать любой гражданин России в возрасте от 18 лет и старше, прошедший специальное обучение.

Основными требованиями к кандидатам являются умение пользоваться планшетным компьютером и коммуникабельность.

Заработная плата переписчика составляет 18 000 рублей в месяц (переписчик работает 31 день, график работы скользящий).

Желающим работать во время переписи обращаться в Отдел государственной статистики в г. Магнитогорск по адресу: ул. Советской Армии, 6, каб. № 215.

Дополнительная информация по телефону 8-919-320-15-47.

Об организации рейтинговой оценки деятельности

Уважаемые коллеги!

Согласно приказу от 30.06.2021 № 10-30/382 «Об организации рейтинговой оценки деятельности ППС и учебных структурных подразделений по итогам работы в 2020/2021 уч. году» со 2 августа 2021 г. подразделениям, ответственным за заполнение рейтинга будет открыт доступ к автоматизированной системе «Рейтинг ППС» (блок «Электронный кабинет» — «рейтинг ППС»). С видео инструкцией по работе в АС «Рейтинг ППС» можно ознакомиться, пройдя по ссылке https://www.youtube.com/watch?v=SoNUWhvBYYQ

Если у Вас возникнут проблемы с доступом, то Вы можете обратиться к Колесниковой Майе Витальевне, т.: +79681180235

Работа выпускникам 2021

Международный молодежный конкурс социальной антикоррупционной рекламы

«Вместе против коррупции!»

Продолжается приём работ на Международный молодёжный конкурс социальной антикоррупционной рекламы «Вместе против коррупции!». Конкурс проводится для молодёжи из всех государств мира. Он организован Генеральной прокуратурой Российской Федерации при поддержке Минпросвещения России.

Приём работ продлится до 1 октября 2021 года на официальном сайте конкурса https://www.anticorruption.life/ в двух номинациях – социальный плакат и социальный видеоролик. Участниками могут стать граждане любого государства (авторы – физические лица или творческие коллективы) в возрасте от 14 до 35 лет.

Для участия в конкурсе необходимо заполнить регистрационную форму на сайте и подтвердить своё согласие с правилами конкурса, а также дать согласие на обработку персональных данных. Конкурсные работы в электронном виде загружаются через личный кабинет на сайте.

Подробнее с правилами можно ознакомиться здесь.

Технологии будущего: квантовый курс CERN по-русски

Некоммерческая школа стартапов RUSSOL, партнер запустила краудфандинг курса по основам квантовых вычислений. На русский язык будут переведены 7 лекций об альтернативе классическим вычислениям, основанной на процессах квантовой физики — ее базовых алгоритмах, способах применения сейчас и возможностях использования завтра.

Все материалы созданы экспертами CERN — крупнейшей в мире лаборатории физики высоких энергий, построившей и запустившей “тот самый” Большой адронный коллайдер.

Внедрение квантовых компьютеров в ближайшие 15-30 лет даст возможности, недоступные сейчас даже суперкомпьютерам, а также позволит значительно ускорить разработку лекарственных препаратов, и создавать принципиально новые типы материалов (например, мы сможем предсказывать механические свойства полимеров).

Чтобы не остаться на обочине прогресса, стать востребованными и влиться в гонку технологий, студентам уже сейчас необходимо понимать основы квантовых вычислений. Открытый для студентов курс CERN — это шанс стать первопроходцем и научиться создавать новые продукты и приложения на базе квантовых технологий уже сегодня.

В результате реализации инициативы на Youtube появится отдельный канал с лекциями с русскими субтитрами и сайт с расшифровками и конспектами. После вычитки перевода курс будет доступен студентов КГЭУ, Сколтеха, МФТИ и ряда других. Чуть позднее — доступ получат все желающие.

Кампания продлится 30 дней. Ее авторы просят вас рассказать о запуске своим друзьям, а также распространить информацию о нем в соцсетях. Взамен — вы получите доступ к курсу первыми. Поддержать авторов можно и рублем, ну или символической сотней). Важны не столько деньги, сколько факт участия. Подробности — на странице кампании.

Квантовые вычисления — одна из четырех технологий, которую поддерживает программа RUSSOL 365 — наряду с автономными роботами, летающими автомобилями и освоением космоса. Цель кампании — способствовать появлению в России будущих Масков, Гейтсов и Безосов и в перспективе — ускорению технологического развития нашей страны. Хорошо развиваться экономика должна и здесь, а не только за рубежом.

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для балок

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 15.08.2015 · Обновлено 16.05.2018

Очень важно уметь строить эпюры для балок, работающих на изгиб! Так как построение эпюр, является неотъемлемой частью любого прочностного расчёта и большинство элементов, из которых состоят современные инженерные сооружения, работают на изгиб. Поэтому в сопромате, очень много внимания уделяется как раз данным эпюрам: поперечных сил и изгибающих моментов. Для краткости, их ещё называют эпюрой моментов и эпюрой сил. В этой статье, рассмотрим, как рассчитать эпюры традиционным методом, а также быстрым, с помощью которого эпюры рисуются за считаные минуты. В статье, построение показано на примере консольной и опирающейся на две опоры балки. Показано, как учитывать сосредоточенные силы и моменты, а также распределённые нагрузки.

Построение эпюр для консольной балки

В качестве первого примера, возьмём балку, защемлённую с левого торца жёсткой заделкой и загруженной силой равной 5 кН и моментом равным 10 кНм . Длины участков даны на расчётной схеме. Нам предстоит рассмотреть два участка. Границами участков будут являться места приложения сил, моментов, начало и конец приложения распределённых нагрузок.

Первым делом, вводим систему координат, ось x пускаем вдоль оси балки, ось y перпендикулярно ей, а ось z будет перпендикулярна плоскости, в которой размещены две первые оси и будет направлена «к нам».

В поперечных сечениях балки под действием приложенной нагрузки будут возникать два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент. Наша задача выяснить, какой величины эти факторы во всех сечениях балки. Для наглядности, результат решения фиксируют в виде так называемых эпюр.

Эпюра строится по всей длине балки, ордината эпюры, под исследуемым сечением, показывает величину внутреннего усилия в этом сечении.

Эпюра поперечных сил

Начнём знакомство с поперечными силами с правила знаков для эпюр. После чего последовательно рассчитаем и построим эпюры для первого и второго участка балки.

Правило знаков для поперечной силы

При построении эпюр поперечных сил нужно придерживаться следующих правил знаков:

  • Если внешняя сила стремится повернуть балку по часовой стрелке, то поперечную силу считаем положительной . Эпюру откладываем выше нулевой линии со знаком плюс.
  • Если сила поворачивает балку против часовой стрелки, то поперечная сила будет отрицательной, и на эпюре будет откладывать ниже нулевой линии.

Возможно, сейчас будет немного непонятны данные правила, но прочитав следующие 2 блока статьи, вы поймёте, как применять эти правила в действии.

Поперечные силы на первом участке

Рассмотрим первым участок равный двум метрам. Сделаем мысленно сечение на расстоянии x1 от свободного торца и запишем законы изменения эпюр на этом участке. Законы эти выражаются из уравнений равновесия статики. Статика говорит нам, что тело находится в равновесии, если выполняются следующие условия:

Если суммы проекций всех сил на обе оси равны нулю и сумма моментов относительно точки равна нулю.

Для поперечной силы возьмём сумму проекций на ось y:

Из этого уравнения выражаем поперечную силу Q = F. Так как внешняя сила стремиться повернуть балку по часовой стрелке, то поперечную силу считаем положительной . Причем видно , из полученного закона поперечной силы, что Q постоянна по всей длине участка. Откладываем на эпюре Q = F = 5 кН. Эпюру подписываем как Qy, где y значит , что направление поперечные силы совпадет с направлением этой оси.

Поперечные силы на втором участке

На втором участке, поперечная сила будет равна: Qy 2 = Qy 1 ;

Так как на этом участке, действует все та же сила F. Момент в уравнениях поперечных сил не учитывается, что является следствием уравнений статики.

Эпюра изгибающих моментов

В этом блоке статьи будем учиться строить эпюру моментов, здесь нюансов несколько больше, чем для эпюры поперечных сил. Начнём , пожалуй, с правил знаков, которые приняты для этой эпюры.

Правила знаков для изгибающих моментов

  • Если внешняя сила или момент растягивают «верхние волокна» то эпюра откладывается сверху.
  • Если сила или момент силы растягивают «нижние волокна», то эпюра откладывается ниже нулевой линии.

То есть, обычно, при построении эпюр изгибающий моментов знаки не указываются. Эти эпюры откладываются со стороны «растянутых волокон». Так, и удобнее читать эпюры и откладывать их.

Не всегда их откладывают так! Студентов некоторых специальностей, чаще всего машиностроительных, учат откладывать эпюры со стороны «сжатых волокон». Строители откладывают со стороны «растянутых волокон», в своих статьях я буду придерживаться этого правила, так как привык к нему.

Изгибающий момент на первом участке

Для изгибающих моментов на первом участке, запишем сумму моментов, относительно точки С , в которой ранее сделали сечение:

Это закон изменения изгибающих моментов по длине участка. В отличие от поперечных сил, изгибающие моменты будут меняться в пределах этого участка.

  • Если подставить вместо x1 — ноль, который соответствует началу участка, то получим, что М = 0.
  • Если подставим вместо x1 — 2 (конец участка), то получим:

С учётом вышеописанных правил знаков, мысленно представляем себе, что сила стремится растянуть верхние волокна, поэтому откладываем рассчитанные значения на эпюре сверху, получив эпюру в виде прямоугольного треугольника. Обязательно , подписываем эпюру как M z , где z означает, что все изгибающие моменты поворачивают относительно этой оси.

Техническая механика

Плоская система пар сил

Пара сил и момент пары

В предыдущей статье мы рассматривали сложение пары антипараллельных сил, не равных по модулю и пришли к выводу, что равнодействующая таких сил существует и ее величина равна алгебраической сумме сил; точка приложения равнодействующей пары антипараллельных сил находится в пропорциональной зависимости от соотношения между модулями сил пары.

Если пара антипараллельных сил состоит из одинаковых по модулю сил, то такая система сил называется парой сил или просто парой.
Понятие пары сил введено в механику в начале XIX века французским ученым Л. Пуансо (1777-1859), который разработал теорию пар.

Плоскость, в которой расположена пара, называется плоскостью действия пары. Расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары.
Эффект действия пары состоит в том, что она стремится вращать тело, к которому приложена. Ее вращающее действие определяется моментом пары.

Моментом пары называется произведение модуля одной из сил, составляющих пару, на плечо:

Момент пары и момент силы имеют одинаковую размерность — ньютон×метр (Нм).

Правило знаков для моментов пары.

Условимся считать момент пары положительным, если она стремится вращать свое плечо против часовой стрелки, и наоборот.

Если сделать геометрические построения (см. рисунок 1) , то можно сделать вывод, что момент пары численно равен удвоенной площади треугольника, у которого основанием является вектор одной из сил пары, а высотой – плечо пары (как известно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту) .
Очевидно, что перенос любой из сил пары вдоль линии ее действия не влияет на вращающее действие всей пары, т. е. не изменяет момент пары, поскольку и основание треугольника (модуль силы) и его высота (плечо пары) в этом случае не меняются (перенос сил, составляющих пару вдоль линий их действия приводит к образованию равновеликих треугольников) .

Основные свойства пары сил

Основные свойства пары сил характеризуются следующими тремя теоремами.

Теорема I. Пара сил не имеет равнодействующей.

Дана пара сил ( F1, F2 ) с плечом h . (см. рисунок ) .
Ранее мы доказали, что равнодействующая пары антипараллельных сил может быть определена, как алгебраическая сумма сил, составляющих такую пару, т. е., с учетом направленности векторов сил в разные стороны: FΣ = |F1| — |F2| .
Применим это утверждение к случаю, когда силы равны между собой по модулю, и получим, что равнодействующая будет равна нулю: F1 – F2 = 0 .
Из этого следует, что пара силы не имеет равнодействующей (или равнодействующая пары равна нулю) .

Теорема II. Алгебраическая сума моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары.

Дана пара сил ( F1, F2 ) с плечом h . (см. рисунок 2b) .
Момент пары: m = F1h = F2h.

Выберем в плоскости действия пары произвольную точку А и примем ее за центр моментов:

Сложим правые и левые части этих равенств (не забываем, что |F1| = |F2|) :

Из этой теоремы следует, что при любом центре моментов пара сил войдет в уравнение моментов с одним и тем же знаком и одной и той же величиной.

Теорема III. Алгебраическая сумма проекций сил пары на любую ось всегда равна нулю.

Дана пара сил ( F1, F2 ) и ось z , лежащая в плоскости действия пары (см. рисунок 3) . Из равенства заштрихованных треугольников видно, что F1z = F2z , при этом проекция одной из сил положительная, проекция другой силы – отрицательная, следовательно, сумма этих проекций равна нулю.
Теорема доказана.

Из теорем I и III следует, что пара сил не может входить ни в уравнение сил, ни в уравнение проекций сил, поскольку ее нельзя заменить ни равнодействующей, ни проекцией силы.

Эквивалентные пары

Две пары называют эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела.

Теорема об эквивалентных парах формулируется так: если моменты двух пар алгебраически равны, то эти пары эквивалентны.

Пусть даны две пары ( F1, F2 ) и ( Q1, Q2 ), моменты которых алгебраически равны (см. рисунок 4) , т. е.:

Продолжим линии действия сил пары до их взаимного пересечения в точках А и В . На основании следствия из III и IV аксиом статики перенесем силы F и F1 вдоль линий их действия в точки А и В .
Соединим эти точки прямой линией и разложим силы F и F1 по направлению АВ и вдоль линий действия сил Q и Q1 .
Из равенства треугольников Akd и Bmn вытекет, что T = T1 и S = S1 .

Силы T и Т1 представляют собой уравновешенную систему, так как они равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны. На основании аксиомы IV такую систему можно отбросить.

Силы S и S1 представляют собой пару сил с плечом b .
Таким образом, пара ( F1, F2 ) ≡ паре ( S1, S2 ).

Рассмотрим треугольники AmB и AnB .
Они имеют общее основание АВ , и высоты их равны, следовательно площади тоже будут равны.
Поскольку площадь треугольника AnB равна половине момента пары ( F1, F2 ), а площадь треугольника AmB равна половине момента пары ( S1, S2 ), то можно записать:

По условиям теоремы Fa = Qb , следовательно Sb = Qb , отсюда S = Q , S1 = Q1 .

Силы S и Q равны по модулю, действуют вдоль одной прямой в одном направлении, следовательно они эквивалентны друг другу; на этом же основании можно сделать вывод об эквивалентности сил S1 и Q1 . Очевидно, что тогда пара (Q,O1) ≡ паре (S,S1) .

Так как две пары порознь эквивалентны одной и той же третьей паре, то эти пары тоже будут эквивалентны между собой:

М(F, F1) = М(Q, Q1) , что и требовалось доказать.

Из доказательства теоремы об эквивалентных парах вытекает четыре следствия:

    не изменяя механического состояния тела, пару можно переносить как угодно в плоскости ее действия;

не изменяя механического состояния тела, можно менять силы и плечо пары, но так, чтобы ее момент оставался неизменным;

чтобы задать пару, достаточно задать ее момент, поэтому иногда слово «пара» заменяют словом «момент»;

  • условия равновесия плоской системы параллельных сил будут справедливы, если вместе с такой системой действуют и пары сил, так как их можно повернуть в плоскости действия и поставить силы пары параллельно другим силам системы.
  • Теорема о сложении пар

    Теорема: Всякая плоская система пар эквивалентна одной результирующей паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар.

    Пусть даны три пары с моментами m1 , m2 и m3 , действующие в одной плоскости (рис. ) .
    На основании следствия из теоремы об эквивалентных парах преобразуем эти пары так, чтобы их плечи стали равными d , и перенесем к произвольно взятому на плоскости отрезку АВ длиной d .

    Тогда вместо заданной системы пар получим новую систему, эквивалентную данной, причем моменты данных и новых пар будут равны, т. е.

    Сложив три силы в точке А , получим равнодействующую R1 , модуль которой R1 = P1 + Q1 – F1 .

    Сложив три силы в точке В (рис. 4b) , получим равнодействующую R2 , модуль которой R2 = P2 + Q2 – F2 , причем очевидно, что силы R1 и R2 равны по модулю, параллельны и противоположно направлены.
    Значит, система ( R1, R2 ) представляет собой пару с плечом d , эквивалентную данной системе пар.

    Момент этой результирующей пары:

    Аналогичное доказательство можно привести для любой плоской системы пар, т. е. в общем виде можно записать:

    m = Σmi , что и требовалось доказать.

    Условие равновесия плоской системы пар

    Применяя доказанную ранее теорему о сложении пар к плоской системе пар, находящихся в равновесии, запишем:

    Следовательно, условие равновесия плоской системы пар в общем виде будет выглядеть так:

    а формулируется следующим образом: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю.

    Опоры и опорные реакции балок

    Опоры балок по их устройству могут быть разделены на три основных типа (см. рисунок 6) : шарнирно-подвижная (опора А ), шарнирно-неподвижная (опора В ) и жесткая заделка (опора С ). На приведенном рисунке показаны два способа условного изображения шарнирно-неподвижной опоры (опора А ).

    Применим правило для определения направления реакций связей и определим, какое направление могут иметь реакции представленных опор в зависимости от ограничений, накладываемых на балку.

    Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. Если пренебречь трением на опоре и в шарнире, то реакция такой связи будет направлена перпендикулярно опорной плоскости, и неизвестна только по модулю (одно неизвестное) .

    Шарнирно-неподвижная опора допускает только поворот вокруг оси шарнира, и не допускает никаких линейных перемещений. Реакция такой опоры будет направлена перпендикулярно оси шарнира; модуль и направление ее заранее не известны (два неизвестных) .

    Жесткая заделка (защемление) не допускает ни линейных перемещений, ни поворотов защемленного конца балки. Жесткую заделку заменяют реактивной силой, неизвестной по модулю и направлению, и реактивным моментом (три неизвестных) .
    Реактивную силу, неизвестную по направлению, раскладывают на две взаимно-перпендикулярные составляющие. Если при решении задачи реактивная сила или реактивный момент получаются отрицательными, то их действительное направление противоположно принятому.

    Кроме перечисленных выше трех основных типов опор балок в конструкциях нередко балка свободно опирается на плоскость (поверхность) или ребро призмы (угол). В этих случаях направление реакций определяют, как для аналогичных типов связей, рассмотренных здесь.

    Пример решения задачи по определению реакций опор балки

    Пусть горизонтальная балка длиной l = 4 м закреплена на опорах, как показано на рисунке 7 , и нагружена парой сил с моментом m = 420 Нм .
    Не учитывая силу тяжести балки, определим реакции R опор А и В .

    Решение.

    Отбросим опоры, заменив их реакциями, и рассмотрим равновесие балки.
    Так как пару сил можно уравновесить только парой, то реакции R опор А и В должны образовывать пару сил, причем реакция шарнирно подвижной опоры В перпендикулярна опорной плоскости.

    Применим условие равновесия плоской системы пар и составим уравнение равновесия:

    Σmi = 0; -m + Rh = 0, где h = lcos30˚ .

    Подставив известные значения, получим: R = m/h = m/(l cos30˚) = 420/(4×0,866) ≈ 120 Н .

    Пример решения задачи по определению реакции в жесткой заделке

    Пусть консольная балка длиной l = 2 м нагружена на свободном конце силой F = 3000 Н (рис. 8) .
    Не учитывая силу тяжести балки, определим реакцию заделки.

    Решение.

    Отбросим заделку, заменив ее реакциями, и рассмотрим равновесие балки.
    Реакция заделки представляет собой реактивную силу R и реактивный момент m .
    Так как реактивный момент m может быть уравновешен только парой сил, то нагрузка F и реакция R должны образовывать пару, следовательно:

    Далее применим условие равновесия плоской системы пар и составим уравнение равновесия:
    Σmi = 0; m – F1 – 0 , откуда получим:

    Поперечная сила и изгибающий момент

    Определение реакций опор – первая часть решения задачи изгиба балки. Но для расчёта её на прочность необходимо определить напряжения. В случае изгиба встаёт проблема выбора сечения – в каком месте балки будут действовать наибольшие напряжения? Это и есть цель данного урока – нахождение наиболее опасных участков балки для последующего расчёта на прочность.

    В случае осевого нагружения для определения напряжений был использован метод сечений. Тогда рассматривались все возможные сечения (поперечное, наклонное и продольное), однако в расчёте на прочность фактически участвовали только два: поперечное и наклонное.

    При изучении изгиба для простоты будем рассматривать поперечные сечения.

    Рассмотрим балку с шарнирно опёртыми концами, на которую действуют вертикальные силы P1, P2 и P3. Для неё требуется определить наиболее опасные участки, где будут действовать наибольшие напряжения, т.е. где она может сломаться.

    Мысленно рассечём балку поперечным сечением mn, которое расположено, скажем, на расстоянии x от левой опоры, и отбросим правую часть балки.

    Если балка выдерживает приложенные к ней нагрузки (собственно, что от неё и требуется), то тогда в рассматриваемом сечении mn должны действовать внутренние силы, которые уравновешивают силы слева от этого сечения.

    Две силы N и Q, а также момент M действуют в сечении mn рассматриваемой балки.

    Данные внутренние силы заменяют собой действие отброшенной правой части на левую. Если бы отбрасывалась не правая часть, а левая, то эти силы имели бы такое же значение по модулю, но направлены в противоположную сторону.

    N – это осевая сила в сечении, которая, в зависимости от своего направления, вызывает растяжение или сжатие. Она может отсутствовать во многих задач по изгибу балок, однако её наличия не надо бояться, т.к. осевое нагружение уже изучено в достаточном объёме.

    Q – это поперечная (сдвиговая, перерезывающая) сила в сечении, которая сдвигает сечение относительно соседних. Поперечная сила – это результирующая касательных напряжений, действующих в сечении (при отсутствии кручения).

    M – изгибающий момент, который поворачивает сечение относительно смежных ему сечений. Изгибающий момент в сечении – это результирующая нормальных напряжений в сечении (при отсутствии нормальных напряжений от N).

    Направление этих внутренних сил выбрано произвольно (например, пусть сила Q сдвигает левую часть балки вниз, а момент M изгибает левую часть балки выпуклостью вниз), однако в дальнейшем будут оговорены некоторые традиции, сложившиеся в расчётах на прочность, касающиеся принимаемых направлений для этих внутренних сил. Эти внутренние силы (и момент) можно определить из уравнений статики:

    1. Сумма сил на ось икс:

    2. Сумма сил на ось игрек:

    3. Сумма моментов относительно mn (имеется в виду относительно точки, расположенной в центре тяжести сечения mn). Положительное и отрицательное направления выбираются произвольно, т.к. в случае равенства суммы нулю знаки всегда можно регулировать умножением на (-1):

    Сечение mn можно выбрать в любом месте данной балки. Однако, в зависимости от его положения, будут меняться и выражения для Q и M:

    Получились другие выражения.
    Для того же, чтобы понять, где будет опасное место балки, решим её не в общем виде, а в частном, т.е. зададимся значениями для сосредоточенных сил и для расстояний.

    • P1=P2=P3=5 000 Н,
    • c1=1 000 мм,
    • c2=2 000 мм,
    • c3=3 000 мм,
    • l=4 000 мм

    1. Находятся реакции опор.

    Уравнение равновесия сил относительно оси икс даёт XB=0.

    Уравнение равновесия сил относительно оси игрек даёт:

    Уравнение моментов относительно левой опоры даёт:

    2. Находятся функциональные зависимости Q и M в зависимости от координаты сечения для всей балки.

    Для этого балка делится на участки.

    Внутренние силы и момент на участке от левой опоры до силы P1 (0≤x≤1000):

    Сила Q постоянна по длине участка. Момент M меняется по линейной функции.

    Внутренние силы и момент на участке от P1 до P2 (1000≤x≤2000):

    _____________________________________________________________________
    Внутренние силы и момент на участке от P2 до P3 (2000≤x≤3000):

    Внутренние силы и момент на последнем участке от P3 до правой опоры (3000≤x≤4000):

    3. Чтобы при расчёте балки иметь наглядное представление, где будет самое опасное сечение, где менее опасное, какое сечение вообще не будет нагружено и т.д., можно построить графические зависимости Q(x) и M(x):

    График зависимости Q(x):

    График зависимости M(x):

    По получившимся графиками можно получить ответ о наиболее опасном месте балки.

    С точки зрения поперечной силы, наиболее опасными являются крайние к опорам участки.

    С точки зрения изгибающего момента, наиболее опасной является середина пролёта балки.

    Чаще всего и Q(x) и M(x) – кусочно-заданные функции, но бывают и случаи, когда вся балка описывается одной функцией.

    Такие графики крайне удобны по причине своей наглядности. Но в инженерной практике чаще всего не строят систему координат полностью, а ограничиваются непосредственно самим графиком, который называют эпюрой («эпюра поперечных сил» или «эпюра изгибающих моментов»). Очень часто даже не учитывают масштаб, лишь подписывая характерные точки.

    Для удобства эти эпюры строятся под расчётной схемой:

    На практике также можно встретить эпюры и для осевого нагружения стержней. Они встречаются тогда, когда имеется большое количество внешних осевых сил, приложенных к стержню. Принцип построения эпюр для таких случаев схож с изложенным ранее: стержень делится на участки, и для каждого участка методом сечений ищутся внутренние силы.

    Вводя обозначения для внутренней силы Q и внутреннего момента M, мы условились с их направлениями:

    Эти направления выбраны при рассмотрении равновесия левой части балки, т.е. мы отбросили правую часть балки, а её действие заменили внутренними силами и моментом.

    Если рассматривать правую часть балки, отбрасывая левую, то стрелки будут направлены в противоположную сторону.

    Почему было важно условиться с направлениями для Q и особенно для M?

    Бывают такие случаи, когда балки имеют громоздкие расчётные схемы с большим количеством усилий, опор и т.д. Для таких случаев бывает тяжело (да и попросту невозможно) интуитивно определить, где именно, сверху или снизу, изгиб будет вызывать растяжение или сжатие.

    В рассмотренном случае всё очевидно:

    Все силы приложены вниз, а, следовательно, сжатие будет в верхних волокнах балки, а растяжение в нижних.

    Но, как уже было сказано, такие простые расчётные схемы бывают не всегда.

    Так вот, согласно выбранным нами направлениям, если изгибающий момент в сечении положителен, то верхняя часть балки в этом сечении будет сжата.

    По таким направлениям эпюра строится «на сжатом волокне», т.к. верхние волокна находятся в сжатии.

    Если же при рассмотрении левой части балки будут выбраны прямо противоположные направления, то для такого случая эпюра будет построена «на растянутом волокне» и при положительном изгибающем моменте верхние волокна будут растянуты:

    Елена Фомина/ автор статьи

    Приветствую! Я являюсь руководителем данного проекта и занимаюсь его наполнением. Здесь я стараюсь собирать и публиковать максимально полный и интересный контент на темы связанные с юридическим оформлением документов. Уверена вы найдете для себя немало полезной информации. С уважением, Елена Фомина.

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    News-nnovgorod.ru
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: