Закон сохранения энергии неупругого удара

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.

С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц).

Ударом (или столкновением ) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары .

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник . Маятник представляет собой ящик с песком массой , подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой , летящая горизонтально со скоростью попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через Тогда по закону сохранения импульса

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

Отношение – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы () отношение

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

где – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

Измеряя на опыте высоту подъема маятника, можно определить скорость пули .

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

В общем случае массы и соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

Здесь – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара , и – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости и шаров после столкновения:

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (), первый шар после соударения останавливается (), а второй движется со скоростью , т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость . Определив по приведенным выше формулам скорости и шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей и после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние (рис. 1.21.3), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей и шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При эти законы принимают вид:

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей , и образуют треугольник (диаграмма импульсов), а что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами и равен .

Законы сохранения энергии и импульса. Упругие и неупругие столкновения.

Закон сохранения импульса

Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.

Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.

Мера инертности – масса.

Таким образом можно сделать следующие выводы:

Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.

Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.

Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.

Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями и соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через и приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками . Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением . Мы знаем, что коэффициенты и не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты и являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.

Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.

Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как и соответственно, а после взаимодействия — и . В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде — и . Следовательно, соотношение можно записать так — .

Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —

Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит — .

Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — , где и . Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.

Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.

Закон сохранения энергии

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.

Формулировка закона сохранения энергии:

В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы , действующие на точку, можно определить так: можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. Помножим обе части на и получим . Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии.

Упругие и неупругие столкновения

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.

Два шара , с и испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса . Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — . Кинетические энергии до и после удара: и . Найдем разность

где – приведенная масса шаров. Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого механическая энергия системы остается прежней.

Два шара , с и до соударения и и после. По закону сохранения импульса и энергии: , . Решением системы может стать и . Это значит, что шары не встретились. Потребуем и и перепишем уравнения в виде: , . Второе уравнение делим почленно на первое и получаем . Решаем систему из двух линейных уравнений и имеем: , .

Упругие и неупругие соударения

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.

Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.

Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.

При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.

Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.

Абсолютно неупругий удар. Скорость

Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.

Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.

Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1 . 21 . 1 , m – горизонтально летящая пуля с v → скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.

Если скорость ящика с пулей обозначить как u → , тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:

m v = ( M + m ) u ; u = m M + m v .

Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:

∆ E = m v 2 2 — ( M + m ) u 2 2 = M M + m · m v 2 2 .

M ( M + m ) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда

∆ E E 0 = M M + m = 1 1 + m M .

Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.

Когда m М ∆ E E 0 → 1 2 , тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда m = M ∆ E E 0 → 0 , только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим ( m > > М ) , отношение принимает вид ∆ E E 0 → 0 .

Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем

( M + m ) u 2 2 = ( M + m ) g h ; u 2 = 2 g h .

В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что

v = M + m m 2 g h .

При известной высоте h возможно определение скорости пули v .

Рисунок 1 . 21 . 1 . Баллистический маятник.

Абсолютно упругий удар

Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.

Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1 . 21 . 2 .

Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.

Рисунок 1 . 21 . 2 . Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Встречаются случаи, когда массы m 1 и m 2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем

m 1 v 1 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 .

За v 1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v 2 = 0 скорость второго шара, u 1 и u 2 – скорости после столкновения.

Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:

m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 .

Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u 1 и u 2 шаров после столкновения.

u 1 = m 1 — m 2 v 1 m 1 + m 2 ; u 2 = 2 m 1 v 1 m 1 + m 2 .

Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара ( u 1 = 0 ) , а второй продолжает движение u 2 = v 1 _. происходит обмен скоростями и импульсами.

При наличии нулевой скорости второго шара ( v 2 ≠ 0 ) , задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v 2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v 1 ‘ = v 1 – v 2 _. После определения скорости шаров v 1 и v 2 производится переход к «неподвижной» системе.

С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.

Рисунок 1 . 21 . 3 . Модель упругие и неупругие соударения.

При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.

Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1 . 21 . 4 .

Рисунок 1 . 21 . 4 . Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.

Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v 1 и v 2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d , изображенное на рисунке 1 . 21 . 4 .

Предельное расстояние

Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v 1 → летящего шара.

При одинаковых массах шаров векторы v 1 → и v 2 → имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m 1 = m 2 = m , тогда определение примет вид

v 1 → = u 1 → + u 2 → ; v 1 2 = u 1 2 + u 2 2 .

Первое равенство значит, что векторы v 1 → , u 1 → , u 2 → образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u 1 → и u 2 → , равняется 90 градусов.

Рисунок 1 . 21 . 5 . Модель соударения упругих шаров

Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар

Механическое взаимодействие в природе можно условно разделить на ударное и безударное.

Безударное взаимодействие – это притяжение и отталкивание.

Для ударного взаимодействия в задачах механики применяют закон сохранения импульса.

Виды ударов

В школьном курсе физики рассматривают два вида ударного взаимодействия: абсолютно упругий удар или абсолютно неупругий удар.

Если деформации тел при ударе нет, считают, что удар абсолютно упругий.

Если же деформация присутствует и после удара образуется новое тело – удар абсолютно неупругий.

Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары – это два крайних случая на шкале ударного взаимодействия

При ударах большинства реальных тел часть энергии всегда тратится на деформацию этих тел. Поэтому, удары большинства реальных тел лежат на шкале между двумя крайними видами ударов.

Рассмотрим движение тел вдоль одной прямой. Тела либо двигаются навстречу, либо одно тело догоняет другое.

Абсолютно неупругий удар

Суть абсолютно неупругого удара кратко можно описать так: Две капли ртути катились, ударились, слились в общую каплю ртути.

Нарисуем капли ртути до удара. Отметим на рисунке массу каждой капли. Скорости капель укажем с помощью векторов, направленных по движению каждой капли.

Нарисуем ось, для того, чтобы определить знак для импульса каждой капли.

Импульс, сонаправленный с осью, будет иметь положительный знак, направленный против оси – отрицательный.

Сложим векторы импульсов, чтобы найти общий импульс системы – вектор (vec>> ).

Каждый импульс запишем со своим знаком

Сделаем второй рисунок, описывающий ситуацию после абсолютно неупругого удара.

На этом рисунке укажем массу образовавшейся капли и ее скорость. Укажем стрелкой и символом (vec>> ), куда движется капля после удара .

Ось поможет выбрать знак для импульса капли.

На рисунке скорость сонаправлена с осью, поэтому, импульс капли после удара имеет положительный знак.

Примечание: Иногда в условии задачи не уточняется, в какую сторону будет двигаться тело после удара. В таком случае, направление движения выбираем сами (влево или вправо на рисунке). Если в ходе решения получим импульс тела, или его скорость со знаком минус, значит, тело движется в противоположную сторону от указанного нами направления. Такой выбор направления ошибкой считаться не будет. А знак минус подскажет, что импульс (и скорость) нужно развернуть в противоположную сторону.

Значит, закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара запишем в таком виде:

При абсолютно неупругом ударе:
— Выполняется закон сохранения импульса,
— Не выполняется закон сохранения энергии, так как часть энергии тратится на деформацию тел.

Примечание: Встречаются задачи вида: человек на льду бросил гирю в горизонтальном направлении, гиря полетела в одну сторону, а человек – в противоположную. Такие задачи решаем, применяя принципы для абсолютно неупругого удара. С той лишь разницей, что меняем местами рисунки до и после удара. Вначале тела находились вместе, после броска – разлетелись в противоположные стороны.

Абсолютно упругий удар

Кратко суть абсолютно упругого удара опишем так: Два бильярдных шара катились, без деформации ударились, и разбежались в разные стороны.

Составим рисунок для ситуации до удара. Отметим на рисунке массу каждого шара. Скорости шаров укажем с помощью векторов, направленных по движению каждого шара.

Запишем импульсы шаров до удара

Нарисуем ось, чтобы определить знаки импульсов каждого шара. Сонаправленный с осью импульс имеет знак «+», направленный против оси – знак «-».

Сложим импульсы и найдем общий импульс системы – вектор (vec>> ).

Каждый импульс записываем со своим знаком

На втором рисунке опишем задачу после абсолютно упругого удара.

Укажем массы шаров, их скорости нарисуем стрелками в направлении движения каждого шара. Обозначим скорости символами (vec>> ) и (vec>> ).

С помощью проведенной оси выбираем знаки импульсов шаров.

Составим выражение для общего импульса после удара.

Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса

Запишем его в развернутом виде для абсолютно упругого удара:

При абсолютно упругом ударе:
— Выполняется закон сохранения импульса,
— Выполняется закон сохранения энергии.

Алгоритм решения задач на тему закон сохранения импульса

Решение большинства задач на закон сохранения импульса можно проводить по такому алгоритму:

Убеждаемся, что систем замкнутая. О видах систем написано тут.
На рисунке описываем ситуацию до удара.
Складываем импульсы всех тел системы до удара. Полученный вектор – это ( vec>>)
Составляем второй рисунок, на котором представляем ситуацию после удара.
Складываем импульсы всех тел системы после удара. Полученный вектор – это ( vec>>)
Приравниваем импульсы ( vec>>) до удара и ( vec>>) после удара

Если тела двигаются под углом друг к другу (вдоль непараллельных прямых)

При решении таких задач, нужно помнить, что, векторы ( vec>>) равны. Значит, когда нам известен один из векторов, автоматически становится известен и второй вектор.

Поэтому, когда нужно определить импульс тела в задачах, в которых тела не двигаются вдоль одной прямой, мы ищем тот импульс ( vec>>) , который нам удобнее найти. А после этого применяем тот факт, что векторы равны ( vec>> = vec>>).

Центральный абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругий удар — столкновение тел, в результате которого полученная деформация полностью сохраняется, и тела, объединяясь, двигаются далее как единое целое.

Примером абсолютно неупругого удара может служить соударение шаров из глины или пластилина, движущихся навстречу друг другу.

При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии не выполняется, поскольку часть кинетической энергии тел переходит в энергию теплого (хаотического) движения атомов и молекул отсиживающихся тел.

Рассмотрим неупругое столкновение двух шаров массами и т₂, скорости которых до удара v, и v₂. После удара шары, объединившись, двигаются со скоростью v (удар прямой, центральный). Согласно закону сохранения импульса:

Если шары движутся навстречу друг другу, го они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (т_<= /я,), то

Кинетические энергии шаров до удара (Г) и после удара (Т’) соответственно равны

Потеря кинетической энергии, равная работе деформации в процессе удара,

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂ = 0), то

где Т_< — кинетическая энергия системы до удара (второй шар покоится). Тогда относительное уменьшение кинетической энергии при абсолютно неупругом центральном ударе

Чтобы получить значительную деформацию при ударе (ковка, штамповка), необходимо, чтобы т, :» т, (наковальня должна быть гораздо массивнее молота). Наоборот, чтобы обеспечить возможно большее перемещение тела после удара (например, при забивании гвоздя в стену), необходимо т_х » т, (масса молотка должна быть гораздо больше массы гвоздя), тогда практически вся энергия затрачивается на перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость [см. (29.5)]:

Продифференцировав это выражение по времени, получим

Выражение (36.1) представляет еще один вид уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

Для замкнутой системы момент внешних сил всегда равен нулю:

тогда, учитывая выражение (36.2), можем записать

Выражение (36.3) — закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Этот закон формулируется для вектора L и поэтому выполняется для любой проекции момента импульса на некоторую ось.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он играет такую же важную роль, как и законы сохранения импульса [см. § 30[ и энергии [см. § 311.

В основе сохранения момента импульса лежит изотропность пространства — инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Рассмотрим проявления закона сохранения момента импульса. Пусть человек (рис. 41) сидит на скамье Жуковского (горизонтальная пло-

ИЗ щадка в форме диска, вращающаяся с очень малым трением вокруг вертикальной оси) и держит в руках гантели. Если привести человека с вытянутыми руками во вращение с угловой скоростью со,, а затем прижать гантели к себе, то угловая скорость вращения от, возрастет. Это объясняется тем, что при прижатых гантелях момент инерции системы уменьшится, но поскольку момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы сохраняется (У, о),) = (У₂ш₂).

Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Пусть человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках колесо, вращающееся вокруг горизонтальной оси. Начальный момент импульса L_z = 0. Если поднять вращающееся колесо (правый рисунок), то L_z остается равным нулю (поворот колеса осуществляется за счет внутренних сил), и скамья начнет вращаться в направлении, противоположном направлению вращения колеса с угловой скоростью w₂, удовлетворяющей равенству L_? = /,(0, — У₂со, = 0, где У, — момент инерции колеса; со, — угловая скорость колеса; У₂ — момент инерции системы «человек + скамья».